hasil kali dua transformasi

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Geometri transformasi merupakan suatu bab yang membahas mengenai Hasil Kali transformasi, Involusi, Grup Transformasi dan titik invariant. Pada makalah ini dikhususkan membahas mengenai geometri transformasi pada bidang euclides. Oleh karena itu akan mengakibatkan aksioma khususnya aksioma euclides. Semoga makalah ini dapat membantu dan memperjelas lebih jauh hal-hal yang berkaitan dengan geometri transformasi khususnya pada bidang dimensi dua.

B.     Tujuan penulisan

Makalah ini ditulis untuk :

1.  Menyelesaikan tugas mata kuliah geometri transformasi

2.  Melatih kerjasama dalam kelompok

3.  Mengetahui lebih jelas mengenai Hasil Kali transformasi, Involusi dan Grup Transformasi

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Hasil Kali Dua Transformasi

Jika V transformasi dan W Transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai Fungsi, maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dan V dan W. Seperti halnya menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi V○W, W di kerjakan dahulu baru V. Jadi V○W(A) = V(W(A)).

Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis V ○ W = VW, V ○ V = V².

Teorema

 

Contoh

(-2, -3)   dan sejajar dengan

b.

B.     Involusi

Teorema :

Invers dari setiap refleksi garis adalah refleksi garis itu sendiri.

Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi. Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi garis adalah suatu involusi.

Bukti :

Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Maka dapat dinyatakan

(TL)^-1 = L^-1 T^-1         

Maka (TL) = (L^-1 T^-1) = [(TL)L^-1] T^-1

                                    = [T(LI^-1)] T^-1

                                    = [TI] T^-1

                                                = TT^-1

                                    = I

Dengan cara yang sama diperoleh

(L^-1T^-1) (TL) = I

Catatan : suatu transformasi T disebut transformasi indentitas jika T(A) = A,  A di V.  Selanjutnya Transformasi Identitas dinyatakan sebagai I.

Contoh

Diketahui T((x,y)) = (2x + 1, y - 1) selidiki apakah T suatu involusi

Jawab

C.    Grup Transformasi

Definisi : suatu himpunan S disebut memiliki struktur grup, apabila di dalam S ada didefinisikan suatu operasi “○” yang :

1.    Bersifat tertutup :  a ϵ S.  b ϵ S berlaku a ○ b ϵ S.

2.    Asosiatif : (a ○ b ) ○ c = a ○ (b  ○ c).  a, b, c ϵ S

3.    Ada unsur netral e sehingga untuk setiap a ϵ S berlaku a ○ e = e ○ a = a

4.    Untuk setiap a ϵ S ada y ϵ S sehingga a ○ y = e; unsur y ini ditulis sebagai a^-1. Jadi a ○ a^-1 dinamakan balikan atau invers a (terhadap operasi “○”). Himpunan S dengan operasi “○” ini lazimnya ditulis sebagai (S, ○).

Contoh

Perhatian V bidang Euclides dan S himpunan semua transformasi-transformasi T: V→V dengan operasi hasil kali transformasi diperhatikan sifat-sifat Grup.

1.    Kalau T₁ T₂ ϵ S maka hasil kali transformasi T₁ T₂ juga merupakan transformasi, sehingga T₁ T₂ ϵ S.

2.    Kalau T₁ T₂ T₃ ϵ S maka (T₁ T₂) T₃ = T₁ (T₂ T₃)

3.    Transformasi Identitas I dengan sifat-sifat I(P) = P,   ϵ V adalah suatu transformasi sehingga (TI)(P) = T(I(P)). Jadi TI = T = IT.

Demikian I adalah unsur netral Himpunan S.

4.    Andaikan T ϵ S. Apakah ada unsur X ϵ S sehingga TX = I?

Oleh karena T bijektif maka ada X = T^-1 sehingga T.T^-1 = I = T^-1.T yaitu kalau T(A) = B. Kita definisikan T^-1 sebagai transformasi T(B) = A. sehingga T[T^-1 (B)] = (TT^-1)(B) = B sebab T(B)  = B.

Jadi T.T^-1 = I = T^-1.T

5.    Apabila M, N ϵ S, apakah ada X ϵ S  sehingga MX = N ?

Karena M ϵ S maka ada balikan M^-1 ϵ S. Sehingga M^-1(MX) = M^-1N atau X = M^-1N

Dengan demikian himpunan S transformasi-trnasformasi V → V adalah sebuah Grup dengan operasi hasil kali transformasi. Sesuatu grup dapat memiliki unsur-unsur banyaknya unsur-unsur terhingga. Akan tetapi ada grup yang banyaknya unsur-unsur terhingga.

D.    Titik invarian

Apabila oleh suatu tranformasi T, suatu titik P ditranformasikan ke titik P itu sendiri , maka titik P disebut titik invarian pada transformasi T.

Menurut definisi 3.2

Misalkan A suatu titik tertentu pada bidang euclid dan T suatu transformasi. Titik A disebut titik invarian pada transformasi T jika dan hanya jika berlaku T(A)=A

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Pada pembahasan Bab ini dapat diamlbil kesimpulan bahwa:

1.      Jika V transformasi dan W Transformas, berkenaan sifat V dan W sebagai Fungsi, maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dan V dan W. Seperti halnya menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi V○W, W di kerjakan dahulu baru V. Jadi V○W(A) = V(W(A)).

2.      Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi.

3.      Definisi : suatu himpunan S disebut memiliki struktur grup, apabila di dalam S ada didefinisikan suatu operasi “○” yang :

a.    Bersifat tertutup :  a ϵ S.  b ϵ S berlaku a ○ b ϵ S.

b.    Asosiatif : (a ○ b ) ○ c = a ○ (b  ○ c).  a, b, c ϵ S

c.    Ada unsur netral e sehingga untuk setiap a ϵ S berlaku a ○ e = e ○ a = a

d.   Untuk setiap a ϵ S ada y ϵ S sehingga a ○ y = e; unsur y ini ditulis sebagai a^-1. Jadi a ○ a^-1 dinamakan balikan atau invers a (terhadap operasi “○”). Himpunan S dengan operasi “○” ini lazimnya ditulis sebagai (S, ○).

B.     Saran

Makalah yang kami buat ini tentunya belumlah sempurna. Namun sebagai perkenalan awal tentang Transformasi rasanya sudah cukup membantu. Karenanya kami menyarankan kepada pembaca agar menambah wawasan melalui berbagai literatur lainnya agar pembaca memperoleh pemahaman yang lebih mendalam.

DAFTAR PUSTAKA

Rawuh. 1992. Geometri Transformasi. Bandung : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan

Susanta. 1990. Geometri Transformasi. Yogyakarta : Universitas Gajah Mada

www.slideshare.net/derin4n1/materi-ajargeometritransformasi-15045853