Elips

BAHAN KULIAH ELIPS

Untuk Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Geometri Analitik Bidang

Disusun Oleh

Kelompok 7:

ANDRI ERMAWANDI

RAHMA DILTA AZIZI

ZUADRI MAYANG PERMIMI

Dosen Pembimbing:

Prima Yudhi, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA BARAT
PADANGPANJANG

2014

PEMBAHASAN

ELIPS

A.      Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.

Gambar ellips

 

                                                      B₂

                                       L₁                           L₂

                                                     a        b          

                                                   ₀            c

                          A₁         F₁                                  F₂         A₂                         

                                   L₁                                            L₂

                                                     B₁

Bagian-bagian elips:        

a.    dua sumbu simetri, yaitu garis yang melalui titik-titik fokus F₁& F₂ dan garis yang melalui titik tengah F₁&F₂.

b.    Titik fokus elips yaitu F₁&F₂.

c.    Titik pusat elips adalah di titik O.

d.   Sumbu utama atau sumbu transversal adalah sumbu simetri yang melalui titik-titik focus F₁&F₂.

e.    Puncak elips adalah A₁&A_2.

f.     Sumbu panjang atau sumbu mayor adalah ruas garis A₁ A₂

g.    Sumbu minor adalah ruas garis B₁ B_2.

Hubungan antara a, b, dan c

misalkan OF1 = OF2 = c

         B1F1 = B1F2 = B2F1 = B2F2 = a

         OB1 = OB2 = b

Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga OB2F2: 

b² = a² + c²

B.       Persamaan Elips yang Berpusat di O (0,0)

Persamaan elips dengan titik pusat O (0,0), dengan sumbu mayor elips brimpit dengan sumbu X. jarak titik pusat elips dengan focus adalah c sehingga F1(-c,0), F2(c,0) puncak elips di B(-a,0) dan B(a,0).

                                             y

                                                     P( x,y )

                                                   

                                                                                                       x 

                 B(-a,o)    F₁(-c,o)               F₂(c,o)    B(a,0)

Misalkan P(x, y) sembarang titik pada elips dan penjumlahan jarak terhadap titik focus adalah 2a. sehingga d(F₁,P) + d(F₂,P) = 2a

 = 2a     

 =             (Kuadratkan kedua ruas)

(x + c)²+(y)² = 4a² + ( x – c )²+ y² – 4a                 

x² + 2cx + c² +y² = 4a² – 4a+ x² + 2cx + c² + y²

x² – x² + 2cx + 2cx + c² – c² + y² – y² -4a² = -4a

4cx – 4a² = - 4a

4a= 4a² – 4cx

a= a² – cx           (Kuadratkan kedua ruas) 

a²(( x – c )² + y²) = (a² – cx)²

a²(x² – 2cx + c² + y²) = a⁴ – 2a²cx + c²x²

a²x² – 2a²cx + a²c² + a²y² = a⁴ – 2a²cx + c²x²

a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + c²x²

a²x² – c²x² + a²y² = a⁴ – a²c²

(a² – c²)x² + a²y² = a² (a² – c²)      ... pers I

Misalkan titik P pada titik puncak sumbu minor ( 0,b ), maka

 (a² – c²) 0² + a²b² = a² (a² – c²)

                          b² = a² (a² – c²)

Subtitusikan b² = a² (a² – c²) ke persamaan I sehingga di peroleh persamaan

b²x² + a²y² = a²b²

jika kedua ruas dibagi dengan a²b² maka di peroleh

         

Persamaan direktris x =                     

Nilai eksentrisitas e =                            

Adapun persamaan elips berpusat di O (0,0), fokus F₁(0,-c) dan F₂(0,c), sumbu mayor berimpit dengan sumbu y.

                                    y

                               a F₂

                                  

                             -b 0      b                  x             

                           -a F₁      

Persamaannya adalah:

  x² +  y²= 1, a > b atau a²x² + b²y² = a²b²

  b²      a²

dengan b² = a²-c²

Persamaan direktris y =  

Persamaan eksentrisitas e =       

Contoh soal:

Sebuah elips mempunyai persamaan = 1. Tentukanlah

a. Koordinat pusat, focus, dan puncak dari elips

b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor

c. Gambarkan elips tersebut!

Jawab:

a.    Gunakan  = 1

                     

            = 1

           

          A = 5, b = 4 dan c =  =  

                                         =  = 3

          Koordinat titik pusat di O(0,0)

          Koordinat focus di F₁(-3,0) dan F₂(3,0)

          Koordinat titik puncak di A(-5,0) dan B(5,0)

          Titik potong dengan sumbu y di C(0,-4) dan D (0,4)

b. Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 5 = 10

    Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8

c. Gambar elips  y

                                         4 D (0,4)

                                        

                                                                            

          

B (-5,0)                                                               A (5,0) X

                                                                            

                                        

                                                C (0, – 4)

C.      Persamaan Elpis Berpusat di A(p,q)

Elips berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu x, panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b. Dengan menggunakan definisi elips, dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :

+=1

Dan hubungan a² = b² + c²

 

Berdasarkan elips di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :

a.     Sumbu utama adalah garis y = q dan sumbu sekawan adalah garis x = p.

b.    Koordinat puncak di A₁ (p-a,q) dan A₂ (p+a,q), koordinat titik ujung sumbu minor adalah B₁ (p, q-b) dan B₂ (p, q+b).

c.     Koordinat focus di F₁ (p-c,q) dan F₂ (p+c,q).

d.    Nilai Eksentrisitas e =

e.     Persamaan direktriks adalah x = p - dan g₂x = p +

f.     Panjang latus rectum =

Contoh :

1.      Tentukan persamaan elips dengan fokus F₁ ( 1,3 ) dan F₂ (7,3 ), dan puncaknya !

D.    Bentuk Umum Persamaan Elips

Jika bentuk baku persamaan elips itu dijabarkan, maka kita dapat memperoleh bentuk umum persamaan elips, sebagai contoh :

	+=1

 

b² (x-p)² + a²(y-q)² = a²b²

b² (x²-2px+p²) + a²(y²-2qy+q²) = a²b²

b²x²-2b²px + b²p² + a²y² – 2a²qy + a²q² – a²b² = 0

b²x² +a²y² – ab²px – 2a²qy + (b²p² + a²q² – a²b²) = 0

Dengan menetapkan b² = a, a²=B, -2b²p=c, -2a²q=D, dan b²p²+a²q²-a²b² = E, maka persamaannya dapat ditulis :

	Ax2 +By2 + Cx + Dy + E = 0

 

Dengan A, B, C, D, dan E merupakan bilangan-bilangan real (A B, AB, A dan B bertanda sama ). Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan elips.

RANGKUMAN

1.      Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.

2.      Persamaan elips dengan titik pusat O (0,0), dengan sumbu mayor elips brimpit dengan sumbu X b²x² + a²y² = a²b²

3.      Persamaan elips berpusat di A(p,q) +=1

4.      Bentuk umum persamaan elips Ax² +By² + Cx + Dy + E = 0

DAFTAR PUSTAKA

Suherman, Maman.Geometri Analitik Datar.(1986).Jakarta:Karunika

http://www.toermoedy.wordpress.com